如果是在物理层面的蒙特卡洛呢？比如在把球袋封死的台球桌上滚一个球，最后球停在的位置的横坐标除以桌子的长度可以得到一个1[0,1]中的随机值，这样即使是无理数也有概率被选到，然后把它用tan变换一下就可以得到一个(-inf, inf)中间的值了，只不过这个值只是存在而我们永远得不到精确值。

>>No.55699685
百度了一下勒贝格空间
如果我没理解错，那么波函数ψ(x)和φ(p)都应该是L_2空间上的函数，而L_2空间就是物理学里常说的希尔伯特空间

那么我有一个地方没想明白，ψ(x) = δ(x - x_0)在这个空间里吗？φ(p) = exp(-i * p * x_0)在这个空间里吗？

背景的补充：物理上，我们认为波函数的模平方是一个概率密度函数（比如|φ(p)|^2是关于p的概率密度），模平方应该是归一化的。这里动量的波函数φ(p) = exp(-i * p * x_0)可能符合PO一开始的提问

脑子，脑子要长出来了(´ﾟДﾟ`)

>>No.55617834
这到不至于，显然如果能定义“随机选取一个整数”以及“随机选取一个[0,1)的数”就能定义“随机选取一个实数”

>>No.55700190
球如果是物理的球，肯定有个接触面而不是个接触点

如果是数学的球只有一个接触点，似乎和选择公理保证了一种选择方法其实是一回事

不过我的观点是我觉得这玩意儿好像没有办法去度量常见定义的“随机性”

>>No.55680960
在 \inf 只是一种极限的语境下，Dirac \delta 函数不是一个真正的函数，但可以看成是一列函数的极限，例如 \delta_n(x)=\chi_{[-1/n,1/n]}n/2。同样地，如果定义 \epsilon_n(x)=\chi_{[-n,n]}/(2n)，它在 n\to\inf 时的极限就是 U(-\inf,+\inf) 的 PDF——可惜不是一个正经函数。

如果po不在乎是否均匀，那从 N(0,1) 里面抽就可以了。Box--Muller 算法指出只要有了 U(0,1) 就能有 N(0,1)。像 Buffon 那样丢一根针在平的地面上，针的指向除以 2\pi 不就是 U(0,1) 嘛。

>>No.55835493
感谢！又翻了一些讲得更详细的教材，确实采用了极限的方法
即：先在边长为L盒子里定义波函数，然后用这个有界的波函数算你要算的东西，最后让盒子的边长L趋于无穷

>>No.55835720
然而严格来说，N(0,1)也好，U(0,1)，概率测度是一个可数可加集在01区间上的对应，显然不能提供所有的实数

>>No.55867677
说实话我没太明白你的主张。对 U(0,1) 来说，概率测度就是简单的 Lebesgue 测度，样本空间是 1[0,1]，事件空间是 0[0,1] 的可测子集的集合。这个概率测度不满足可数可加性吗？为什么概率测度满足可数可加性就必须要求样本空间是可数集？

>>No.55868795
我认为事件空间可数而样本空间不可数的情况下，事实上并不能满足一个均匀取到值的目的。虽然对事件空而言的概率看上去是好的，但还原不到样本空间的每个值

前面确实说得不好，本质上，我认为取值的要求使得样本必须对应事件，所以才会导出样本空间也要是可数可加的

>>No.55873163
为何你断言事件空间可数？

>>No.55873464

仔细想了一下，是有问题的，发现我把过去学的不深的那些东西都混起来了，尤其是对“一种方法”产生了不对劲的联想。我现在认为我的想法是不对的。

我从实验角度的观点是，任何用于随机模拟的物理装置都具备遍历无穷元素集合的能力，因为现存的物理理论仍然认可时间与空间是可以无穷细分的，即实验装置完全可以产生无穷多的结果。

但是由于现存测量技术和符号系统的限制，我们在在观察和记录结果时必然导致结果的失真，使得我们只能得到结果的很小一部分并形成有限的事件空间。

因此，结论是完全随机无法被证实，也无法被证伪。直到我们能够得到一种完全不产生观测效应的观测手段并具备能够完全拓印结果的技术才有尝试实验这个命题的可能。

>>No.55874794
也许是你之前的对可数可加性的理解有些偏差吧？在我看来事件空间可数或者样本空间可数都是相当可怕的结论，因为一个直接的推论是连续型分布不再存在。

>>No.55876641
如果尺度不太小（例如前面提到的丢一根针），胶片摄影就可以以物理世界的精度来记录呀。不用写出来也可以的，不以文字记录就不会受到约束，尺规作图不就是这样约定的么？笔是无限尖的，每一步都不必留文字，运算在点和线上进行。同样地，我们也可以建立胶片空间上的运算（至少角度加减很好想象），然后把各种对数字的随机性检验搬到胶片上来做。

>>No.55878973
也许光线会是下一种有效的记录方式，毕竟光线没有粗细可言

ﾟ ∀ﾟ)ノ诶，如果不要求某种意义上的等概率，只是想随机roll的话，那其实方法很多的吧，比如概率密度函数为f(x)=Ce^{-x^2}，C让全空间积分为1即可。

另一方面，如果希望全空间的概率为1，但又想让取到任意区间的概率与区间长度成正比，那也不难证明这样的概率分布不存在。( ;´д`)

(　ﾟ 3ﾟ)相似的问题还有如何“随机”取出来一个正整数，这个问题在概率数论里面也被考虑过。虽然同样不存在直接定义的均匀概率，不过也有一些处理办法，比如考虑不超过x的正整数，然后令x趋于无穷，可能会得到一些结果。